Question

20．通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：

	男	女	总计
看营养说明	50	30	80
不看营养说明	10	20	30
总计	60	50	110

（1）从这50名女生中按是否看营养说明分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？
（2）从（1）中的5名女生中随机选取2名进行深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各1名的概率；
（3）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“性别与在购买食物时看营养说明有关系”？
参考公式：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
参考数据：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

分析 （1）先求出每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数；
（2）从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件，
事件A“选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个的基本事件，由此求得所求的概率；
（3）根据性别与看营养说明列联表，求出K²的观测值k，对照临界值得出结论．

解答 解：（1）根据分层抽样原理得：样本中看营养说明的女生有5×$\frac{30}{50}$=3名，
样本中不看营养说明的女生有5×$\frac{20}{50}$=2 名；
（2）记样本中看营养说明的3名女生为a₁、a₂、a₃，
不看营养说明的2名女生为b₁、b₂，
从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：
（a₁、a₂）；（ a₁、a₃）； （a₁、b₁）；
（ a₁、b₂）；（a₂、a₃）；（a₂、b₁）；（a₂、b₂）；
（a₃、b₁）；（a₃、b₂）；（b₁、b₂）；
其中，事件A“选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个的基本事件：
（a₁、b₁）；（ a₁、b₂）；（a₂、b₁）；
（a₂、b₂）；（a₃、b₁）；（a₃、b₂）；
所以所求的概率为P（A）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
（3）根据题目中的列联表，
假设H₀：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则K²应该很小；
根据题中的列联表得k²=$\frac{110{×（50×20-30×10）}^{2}}{80×30×60×50}$=$\frac{539}{72}$≈7.486＞6.635，
由P（K²≥6.635）=0.01，
能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“性别与在购买食物时看营养说明有关系”．

点评 本题考查了读图表、抽样方法、随机事件的概率、独立性检验的应用问题，是综合题．