Question

20．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n²-（3n²+3n-2）S_n-3（n²+n）=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得，n=1时，$2S_1^2-（{3•{1^2}+3•1-2}）{S_1}-3（{{1^2}+1}）=0$，又S₁=a₁，可得a₁．由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得，$（{{S_n}+1}）•[{2{S_n}-3（{{n^2}+n}）}]=0$，n∈N^*，可得：${S_n}=\frac{3}{2}（{{n^2}+n}）$，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n．
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{3n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{n}{3^n}$，利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得，
n=1时，$2S_1^2-（{3•{1^2}+3•1-2}）{S_1}-3（{{1^2}+1}）=0$，又S₁=a₁，所以a₁=3．
由$2S_n^2-（{3{n^2}+3n-2}）{S_n}-3（{{n^2}+n}）=0，n∈{N^*}$可得，$（{{S_n}+1}）•[{2{S_n}-3（{{n^2}+n}）}]=0$，n∈N^*，
又a_n＞0，所以S_n＞0，∴${S_n}=\frac{3}{2}（{{n^2}+n}）$，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{3}{2}[{{n^2}+n-{{（{n-1}）}^2}-（{n-1}）}]=3n$，
由（1）可知，此式对n=1也成立，∴a_n=3n．----------------（6分）
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{a_n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{3n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{n}{3^n}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+…+\frac{n-1}{{{3^{n-1}}}}+\frac{n}{3^n}$，
∴$\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3^2}+\frac{2}{3^3}+\frac{3}{3^4}+…+\frac{n-1}{3^n}+\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
∴${T_n}-\frac{1}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$，
即$\frac{2}{3}{T_n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}+…+\frac{1}{3^n}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{{\frac{1}{3}-\frac{1}{{{3^{n+1}}}}}}{{1-\frac{1}{3}}}-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3^n}}）-\frac{n}{{{3^{n+1}}}}=\frac{1}{2}-\frac{2n+3}{{2•{3^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{{4•{3^n}}}$---------------------------------------（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．