Question

数列{a_n}的通项公式是关于x的不等式x²-x≤nx（n∈N^*）的解集中的整数个数，则数列{

1

anan+1

}的前n项和S_n=（　　）

• A、

  n

  3(n+3)

• B、n（n+1）
• C、

  n

  n+1

• D、

  n+1

  n+2

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由x²-x≤nx（n∈N^*），解得0≤x≤n+1，所以a_n=n+2，从而得到

1

anan+1

=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，由此利用裂项求和法能求出数列{

1

anan+1

}的前n项和S_n．

解答： 解：∵x²-x≤nx（n∈N^*），∴x²-（n+1）x≤0
解得0≤x≤n+1，
∵数列{a_n}的通项公式是关于x的不等式x²-x≤nx（n∈N^*）的解集中的整数个数，
∴a_n=n+2，
∴

1

anan+1

=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，
∴S_n=

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n+2

-

1

n+3

=

1

3

-

1

n+3

=

n

3(n+3)

．
故选：A．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．