Question

4．已知圆C的方程为x²+y²=4．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点P（1，2），且与圆C相交于A，B两点，若|AB|=2$\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（3）圆C上有一动点M（x₀，y₀），N（0，y₀），若Q为MN的中点，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）分两种情况考虑：当直线l的斜率不存在时，直线x=1满足题意；当k存在时，变形出l方程，利用圆心到l的距离d=r列出方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时l方程，综上，得到满足题意直线l的方程；
（2）分两种情况考虑：当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，直线l与圆的两个交点距离为2$\sqrt{3}$，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），求出圆心到直线l的距离d=1，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线方程，综上，得到满足题意直线l的方程；
（3）设Q（x，y），代入已知等式中化简得到x=x，y=2y，代入圆方程变形即可得到Q轨迹方程．

解答 解：（1）当k不存在时，x=1满足题意；
当k存在时，设切线方程为y-2=k（x-1），
由$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2得，k=-$\frac{4}{3}$或k=0，
则所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0；
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，$\sqrt{3}$）和（1，-$\sqrt{3}$），这两点的距离为2$\sqrt{3}$，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，
∴d=$\sqrt{4-3}$=1，即$\frac{|k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
此时直线方程为3x-4y+5=0，
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1；
（3）设Q点的坐标为（x，y），
∵Q为MN的中点，M（x₀，y₀），N（0，y₀），
∴x₀=2x，y₀=y，
∵x₀²+y₀²=4，
∴4x²+y²=4，即x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查直线方程，考查椭圆方程，考查点到直线距离公式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．