Question

19．正项等比数列{a_n}中，a₁，a₄₀₃₁是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x²+6x-3的极值点，则log${\;}_{\sqrt{6}}}$a₂₀₁₆=1．

Answer 1

分析 f'（x）=x²-8x+6，由a₁，a₄₀₃₁是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的极值点，可得a₁•a₄₀₃₁=6，再利用等比数列的性质及其对数的运算性质即可得出．

解答 解：f'（x）=x²-8x+6，
∵a₁，a₄₀₃₁是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-3$的极值点，
∴a₁，a₄₀₃₁是方程f'（x）=x²-8x+6=0的两个实数根，
∴a₁•a₄₀₃₁=6，
又∵正项等比数列{a_n}，∴$a_{2016}^2={a_1}•{a_{4031}}=6$，
∴${log_{\sqrt{6}}}{a_{2016}}={log_{\sqrt{6}}}\sqrt{6}=1$．
故答案为：1．

点评 本题考查了等比数列的性质及其对数的运算性质、导数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．