Question

已知函数f（x）=4cos²x+4sinxcosx-3．
（Ⅰ）求f（-

π

4

）的值及f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

8

，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）直接通过三角函数的恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值和对称轴方程．
（Ⅱ）直接利用函数的定义域求出函数的值域．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4cos²x+4sinxcosx-3
=2cos2x-1+2sin2x
=2

2

sin（2x+

π

4

）-1
则：f(-

π

4

)=2

2

sin(-

π

4

)-1
=-3
令：2x+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z）
解得：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）
所以函数的对称轴方程为：x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）
（Ⅱ）由于：-

π

8

≤x≤

π

2

所以：0≤2x+

π

4

≤

5π

4

当x=

π

8

时，函数取最大值为：2

2

-1．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数求函数的对称轴方程，利用函数的定义域求函数的最值，属于基础题型．