Question

16．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+a}}{e^x}（{x∈R}）$（e是自然对数的底数，e≈2.71）．
（1）当a=-15时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间$[{\frac{1}{e}，e}]$上是增函数，求实数的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，由f′（x）＞0，可得函数的单调增区间；由f′（x）＜0，可得函数的单调减区间；
（2）求导函数，根据f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上是增函数，转化为（x-1）²≤1-a在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，求出x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，（x-1）²的最大值，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-15时，f（x）=（x²-15）e^-x，
求导函数，可得f′（x）=-（x-5）（x+3）e^-x，
令f′（x）=0得x=-3或x=5，
由f′（x）＞0，可得-3＜x＜5；由f′（x）＜0，可得x＜-3或x＞5，
∴函数的单调增区间为（-3，5），减区间为（-∞，-3），（5，+∞）；
（2）f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x，
∵f（x）在区间[$\frac{1}{e}$，e]上是增函数，
∴f′（x）=-（x²-2x+a）e^-x≥0在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
∴（x-1）²≤1-a在区间[$\frac{1}{e}$，e]上恒成立，
当x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，（x-1）²的最大值为（e-1）²，
∴（e-1）²≤1-a，
∴a≤2e-e²，
∴实数a的取值范围为（-∞，2e-e²]．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查不等式的证明．恒成立问题通常利用分离参数法，利用函数的最值求解．