Question

6．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB=AC，BD为圆的弦，且AC∥BD，过A作圆的切线与DB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（I）求证：四边形ACBF为平行四边形；
（Ⅱ）若AF=2$\sqrt{7}$，BD=3求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1I）由已知条件推导出∠ABC=∠BAF，从而得到AF∥BC，再由BD∥AC，能够证明四边形ACBF为平行四边形．
（Ⅱ）由已知条件利用切割线定理求出FB=4，由此能够求出线段BE的长．

解答 （I）证明：∵AF与圆相切于点A，∴∠BAF=∠ACB，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAF，
∴AF∥BC，
∵BD∥AC，∴四边形ACBF为平行四边形．
（Ⅱ）解：∵AF与圆相切于点A，
∴AF²=FB•（FB+BD），即6²=FB•（FB+5），
解得FB=4，
根据（1）有AB=AC=FB=4，BC=AF=2$\sqrt{7}$，
设BE=x，由BD∥AC，得$\frac{AC}{BD}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{7}-x}{x}$，解得x=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查平行四边形的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．