Question

16．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．
（1）若函数f（x）=2x+$\frac{4}{x}$-5，求此函数的不动点；
（2）若二次函数f（x）=ax²-x+3在x∈（1，+∞）上有两个不同的不动点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由定义可得f（x）=x，解方程即可得到所求不动点；
（2）由题意可得ax²-2x+3=0在x∈（1，+∞）上有两个不等的实根，讨论a＞0或a＜0和判别式大于0，对称轴介于x=1的右边，x=1的函数值大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2x+$\frac{4}{x}$-5，
由f（x）=x，即x+$\frac{4}{x}$-5=0，
即为x²-5x+4=0，解得x=1和4，
则此函数的不动点为1，4；
（2）二次函数f（x）=ax²-x+3在x∈（1，+∞）上有两个不同的不动点，
即为ax²-2x+3=0在x∈（1，+∞）上有两个不等的实根，
当a＞0时，△=4-12a＞0，且a-2+3＞0，$\frac{1}{a}$＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{3}$；
当a＜0，由于对称轴x=$\frac{1}{a}$＜0，在x∈（1，+∞）上没有两个不等的实根，不成立．
综上可得，0＜a＜$\frac{1}{3}$．
则实数a的取值范围为（0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查新定义：“不动点”的理解和应用，考查二次方程的根的分布情况，注意结合二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．