Question

16．若${（1+3x）^{2017}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{2017}}{x^{2017}}$，则$\frac{a_1}{3}-\frac{a_2}{3^2}+\frac{a_3}{3^3}+…+{（-1）^{n-1}}\frac{a_n}{3^n}+…+\frac{{{a_{2017}}}}{{{3^{2017}}}}$的值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 可令x=0，求得a₀=1；令x=-$\frac{1}{3}$，化简整理，即可得到所求值．

解答 解：${（1+3x）^{2017}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{2017}}{x^{2017}}$，
令x=0，可得a₀=1；
令x=-$\frac{1}{3}$，则（1-1）²⁰¹⁷=a₀-$\frac{{a}_{1}}{3}$+$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$-$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}$+…-$\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$
即0=1-（$\frac{{a}_{1}}{3}$-$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}$-…+$\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$），
可得$\frac{{a}_{1}}{3}$-$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}$-…+$\frac{{a}_{2017}}{{3}^{2017}}$=1．
故选：D．

点评 本题考查二项式定理的运用，注意运用赋值法和恒等式知识，考查运算能力，属于基础题．