Question

1．已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+2=a_n+1+2a_n，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 由a_n+2=a_n+1+2a_n，两边同加a_n+1，得a_n+2+a_n+1=2（a_n+1+a_n），可判断{a_n+1+a_n}是等比数列，从而可得a_n+1+a_n=4•2^n-1①；由a_n+2=a_n+1+2a_n，两边同减2a_n+1，得a_n+2-2a_n+1=-（a_n+1-2a_n），可判断{a_n+1-2a_n}是等比数列，从而可得a_n+1-2a_n=（-1）^n-1②，联立①②可得结果．

解答 解：a_n+2=a_n+1+2a_n，两边同加a_n+1，得a_n+2+a_n+1=2（a_n+1+a_n），
又a₁=1，a₂=3，∴{a_n+1+a_n}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴a_n+1+a_n=4•2^n-1①；
a_n+2=a_n+1+2a_n，两边同减2a_n+1，得a_n+2-2a_n+1=-（a_n+1-2a_n），
∴{a_n+1-2a_n}是首项为1，公比为-1的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=（-1）^n-1②，
由①②得a_n=$\frac{4}{3}$•2^n-1-$\frac{1}{3}$•（-1）^n-1．

点评 本题考查由数列递推式求数列通项、等比数列的定义及通项公式，考查学生推理论证能力、分析问题解决问题的能力．