Question

2．已知关于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为2．

Answer 1

分析 关于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，令f（x）=2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$，可得：f（x）_min=7，利用导数研究函数的单调性即可得出．

解答 解：关于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，
令f（x）=2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$，可得：f（x）_min=7，
则f′（x）=2-$\frac{2}{（x-a）^{3}}$=$\frac{2（x-a-1）[（x-a）^{2}+（x-a）+1]}{（x-a）^{3}}$，
当且仅当x=a+1时，f（x）取得最小值，f（a+1）=2a+3=7，解得a=2．
∴实数a的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．