Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），|AB|=$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直线l的倾斜角．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：根据椭圆的离心率及菱形的面积公式，即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（2）设直线l方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得丨AB丨，即可求得k的值，求得直线l的倾斜角．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则a²=4b²，a=2b，①
由$\frac{1}{2}$×2a×2b=4，即ab=2，②
由①②解得：a=2，b=1，
∴椭圆的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）由题知，A（-2，0），直线l斜率存在，故设l：y=k（x+2），
则$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x+2}）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0，△＞0，
由$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$，得${x_1}=\frac{{2-8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}=\frac{4k}{{1+4{k^2}}}$，
∴$|{AB}|=\sqrt{{{（{-2-{x_1}}）}^2}+{{（{0-{y_1}}）}^2}}=\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}$，
∴$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}}}{{1+4{k^2}}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，∴k=±1．
故直线的倾斜角为$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．