Question

（本小题共14分）
如图，在四棱柱中，底面是正方形，侧棱与底面垂直，点是正方形对角线的交点，，点，分别在和上，且．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）若，求的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取，连结和,

∴，∥，，∥，
∴，∥．
∴四边形为平行四边形，
∴∥，
在矩形中，，
∴四边形为平行四边形．
∴∥，∥．
∵平面，平面，
∴∥平面．      ————————4分
（Ⅱ）连结，在正四棱柱中，
平面，
∴，，
∴平面，
∴．
由已知，得平面．
∴，，
在△与△中， ，，
∴△∽△
∴，．—————————9分
（Ⅲ）以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．
．
，
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则 ，即 ，
令，所以 ．
∴，
∵二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为． —————————13分

略