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已知函数(其中为自然对数的底数,常数).
(1)若对任意恒成立,求正实数的取值范围;
(2)在(1)的条件下,当取最大值时,试讨论函数在区间上的单调性;
(3)求证:对任意的,不等式成立.
(1);(2)在区间(3)见解析
本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用,求解函数最值问题和不等式的证明。主要是对于承参数问题的分类讨论思想要深刻体会。
解:(1)由对任意恒成立,即对任意恒成立
 得
在区间上单调递增,在区间上单调递减, ----------------(2分)

..---------(1分)
(2)由(1)知   此时,

在区间.----------(3分)
(3)由(2)知在区间上单调递减,在区间上单调递增,
故当.即即.
从而,对任意成立.--------------------- -------(2分)
于是
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