Question

19．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，侧面BCC₁B₁的面积为16，则直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径的最小值为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设BC=2x，BB₁=2y，则4xy=16，利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，可得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径为$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$$≥\sqrt{2xy}$=2，即可求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球半径的最小值．

解答 解：设BC=2x，BB₁=2y，则4xy=16，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径为$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$$≥\sqrt{2xy}$=2$\sqrt{2}$，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球半径的最小值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球半径的最小值，考查基本不等式的运用，属于中档题．