Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C₁、E的平面交棱BB₁于点F，B₁F=2BF．
（1）求证：平面AC₁E⊥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角E-AC₁-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，由已知得BE=

a

2

，AE=

3 a

2

，AC=

3

a，从而AE⊥CE，由直四棱柱性质得C₁C⊥ABCD，从而AE⊥平面BCC₁B₁，由此能证明平面AC₁E⊥平面BCC₁B₁．
（2）过C作CG⊥AC₁于G，CH⊥C₁F于H，连接GH，由已知得∠CGH是二面角E-AC₁-C的平面角，由此能求出二面角E-AC₁-C的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，
∵B₁F=2BF，△B₁C₁F∽△BEF，∴BE=

a

2

…（1分）
由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，
得AE=

3 a

2

，AC=

3

a…（2分）
∵CE=

3a

2

，∴AE²+CE²=AC²，AE⊥CE…（3分）
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，C₁C⊥ABCD，又AE?ABCD，
∴C₁C⊥AE，∵CE∩CC₁=C，∴AE⊥平面BCC₁B₁…（4分）
∵AE?平面AC₁E，
∴平面AC₁E⊥平面BCC₁B₁…（5分）
（2）解：过C作CG⊥AC₁于G，CH⊥C₁F于H，连接GH…（6分）
由平面AC₁E⊥平面BCC₁B₁，
平面AC₁E∩平面BCC₁B₁=C₁E，CH⊥平面AC₁E…（7分）
∴CH⊥AC₁，又CG⊥AC₁，CG∩CH=C，
∴AC₁⊥平面CGH，AC₁⊥GH，
∴∠CGH是二面角E-AC₁-C的平面角…（9分）
在Rt△ACC₁中，AC=

3

a，CC₁=a，AC₁=2a，CG=

3

2

a，
在Rt△ECC₁中，CE=

3

2

a，CC₁=a，
EC1=

13

2

a，CH=

3 13

13

a，CG=

3

2

a、CH=

3 13

13

a，
求得任何一个给（2分），两个全对给（3分）…（12分）
GH=

CG2-CH2

=

39

26

a，cos∠CGH=

GH

CG

=

13

13

．
∴二面角E-AC₁-C的平面角的余弦值是

13

13

．…（13分）

点评：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．