Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点，点E为BC边上的动点，且

BE

EC

=λ．
（1）求证：平面ADE⊥平面PBC；
（2）是否存在实数λ，使得二面角P-DE-B的余弦值为

2

3

，若存在，试求实数λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PB中点N，连结MN、AN，由已知得四边形ADMN为平行四边形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥平面PAB，从而AN⊥MN，由AP=AB，得AN⊥PB，由此能证明平面ADM⊥平面PBC．
（2）以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ=3或λ=

1

3

．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）取PB中点N，连结MN、AN，
∵M是PC中点，∴MN∥BC，MN=

1

2

BC=2，
又∵BC∥AD，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADMN为平行四边形，
∵AP⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面PAB，
∴AD⊥AN，∴AN⊥MN，∵AP=AB，∴AN⊥PB，
∴AN⊥平面PBC，
∵AN?平面ADM，∴平面ADM⊥平面PBC．（6分）
（2）存在符合条件的λ．
以A为原点，AB方向为x轴，AD方向为y轴，AP方向为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
设E（2，t，0），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0）
从而

PD

=(0，2，-2)，

DE

=(2，t-2，0)，
则平面PDE的法向量为

n1

=(2-t，2，2)，
又平面DEB即为xAy平面，其法向量

n2

=(0，0，1)，
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

2

(2-t)2+4+4

=

2

3

，
解得t=3或t=1，进而λ=3或λ=

1

3

．（12分）

点评：本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．