Question

若

a

，

b

是两个非零向量，且|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

3

，1]，则

b

与

a

-

b

的夹角的取值范围是（　　）

• A、[

  2π

  3

  ，

  3π

  4

  ]
• B、[

  2π

  3

  ，

  5π

  6

  ]
• C、[

  π

  3

  ，

  3π

  4

  ]
• D、[

  π

  6

  ，

  π

  3

  ]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,不等式的解法及应用,平面向量及应用

分析：不妨设|

a

+

b

|=1，则|

a

|=|

b

|=λ，运用向量的平方即为模的平方，可得

a

•

b

=

1-2λ2

2

，再由向量的夹角公式，求得cos＜

b

，

a

-

b

＞=-

1- 1 4λ2

，再由λ∈[

3

3

，1]，运用不等式的性质，结合余弦函数的单调性，即可得到所求范围．

解答： 解：由于|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

3

，1]，
不妨设|

a

+

b

|=1，则|

a

|=|

b

|=λ，
即有（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=2λ²+2

a

•

b

=1，
即

a

•

b

=

1-2λ2

2

，

b

•(

a

-

b

)=

a

•

b

-

b

2=

1-2λ2

2

-λ²=

1-4λ2

2

，
|

a

-

b

|=

( a - b )2

=

a 2+ b 2-2 a • b

=

2λ2-(1-2λ2)

=

4λ2-1

，
cos＜

b

，

a

-

b

＞=

b •( a - b )

| b |•| a - b |

=-

1-4λ2

2λ 4λ2-1

=-

4λ2-1

2λ

=-

1- 1 4λ2

，
由于λ∈[

3

3

，1]，则λ²∈[

1

3

，1]，

1

4λ2

∈[

1

4

，

3

4

]，
-

1- 1 4λ2

∈[-

3

2

，-

1

2

]，
由于0≤＜

b

，

a

-

b

＞≤π，
则有

2π

3

≤＜

b

，

a

-

b

＞≤

5π

6

．
故选B．

点评：本题主要考查向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查向量的夹角的范围，运用不等式的性质是解题的关键，属于中档题．