Question

设数列的前项和为，数列满足：，已知对任意都成立

（1）求的值

（2）设数列的前项的和为，问是否存在互不相等的正整数，使得成等差数列，且成等比数列？若存在，求出；若不存在，说明理由

 

Answer 1

（1）（2）不存在满足条件的正整数m，k，r，使得成等差数列，且成等比数列.

【解析】

试题分析：（1）先利用递推关系式求出数列的通项，再利用对任意都成立，证明出数列是首项为1，公比为3的等比数列并求出其通项然后，所以对任意都成立，进而求出t的值；

（2）由（1）得然后利用错位相减法解出

再由成等差数列,且成等比数列.得m=r.这与矛盾，所以，不存在满足条件的正整数m，k，r，

试题解析：（1）当时，

当时，也适合上式.

所以（） .2分

因为多任意都成立，

所以

所以且

所以数列是首项为1，公比为3的等比数列.

所以， ..4分

即

因为，

所以

所以对任意都成立，

所以， 6分

（2）由（1）得，

所以

所以

两式相减，得

解得 ..8分

若存在互不相等的正整数,使得成等差数列,且成等比数列.

则

即.

由成等差数列,得所以.

所以由得.

即

所以

即即即m=r.

这与矛盾

所以，不存在满足条件的正整数m，k，r， .10分

考点：等差等比数列的基本性质；等差等比数列的前n项和公式；错位相减法；探索型问题.