Question

16、已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求原函数的导数得：f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，由于a＞1，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由已知条件得，当a＞0，a≠1时，f'（x）=0有唯一解x=0，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，等价于方程f（x）=t±1有三个根，从而t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t即得．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna
由于a＞1，故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x-1＞0，所以f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增（4分）
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f'（0）=0，且f'（x）在R上单调递增，
故f'（x）=0有唯一解x=0（6分）
所以x，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：

又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））_min=f（0）=1，解得t=2（10分）．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的单调性、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．