Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）的离心率为

5

5

，若左焦点为F（-1，0）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点F且倾斜角为

π

4

的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）写出过点F且倾斜角为

π

4

的直线l的方程，与椭圆C联立，通过韦达定理利用弦长公式求解弦长|AB|．

解答： 解：（1）∵左焦点为F（-1，0）∴c=1
又∵e=

c

a

=

5

5

，∴a=

5

，b2=4
∴椭圆C的方程为

x2

5

+

y2

4

=1
（2）直线l的方程为y=x+1
由

y=x+1 4x2+5y2=20

消去y，得9x²+10x-15=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

10

9

，x1x2=-

5

3

∴|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 10 9 )2-4×(- 5 3 )

=

16 5

9

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的相交的性质，弦长公式的应用，考查计算能力．