已知函数,其中
,
为自然对数的底数。
(Ⅰ)设是函数
的导函数,求函数
在区间
上的最小值;
(Ⅱ)若,函数
在区间
内有零点,证明:
.
(Ⅰ)当时,
;当
时,
;
当时,
.(Ⅱ)
的范围为
.
解析试题分析:(Ⅰ)易得,再对分
情况确定
的单调区间,根据
在
上的单调性即可得
在
上的最小值.(Ⅱ)设
为
在区间
内的一个零点,注意到
.联系到函数的图象可知,导函数
在区间
内存在零点
,
在区间
内存在零点
,即
在区间
内至少有两个零点. 由(Ⅰ)可知,当
及
时,
在
内都不可能有两个零点.所以
.此时,
在
上单调递减,在
上单调递增,因此
,且必有
.由
得:
,代入这两个不等式即可得
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)
①当时,
,所以
.
②当时,由
得
.
若,则
;若
,则
.
所以当时,
在
上单调递增,所以
.
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
.
当时,
在
上单调递减,所以
.
(Ⅱ)设为
在区间
内的一个零点,则由
可知,
在区间
上不可能单调递增,也不可能单调递减.
则不可能恒为正,也不可能恒为负.
故在区间
内存在零点
.
同理在区间
内存在零点
.
所以
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数
(1)若时,函数
有三个互不相同的零点,求
的取值范围;
(2)若函数在
内没有极值点,求
的取值范围;
(3)若对任意的,不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数(
R),
为其导函数,且
时
有极小值
.
(1)求的单调递减区间;
(2)若,
,当
时,对于任意x,
和
的值至少有一个是正数,求实数m的取值范围;
(3)若不等式(
为正整数)对任意正实数
恒成立,求
的最大值.
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