Question

3．在四面体S-ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（　　）

• A． 11π
• B． 7π
• C． $\frac{10π}{3}$
• D． $\frac{40π}{3}$

Answer 1

分析 求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．

解答 解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×2×1×cos120°}$=$\sqrt{7}$，
∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=$\frac{\sqrt{7}}{sin120°}$，r=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，
由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．
则有该三棱锥的外接球的半径R=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{21}}{3}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{10}{3}}$，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR²=4π×（$\sqrt{\frac{10}{3}}$）²=$\frac{40π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．