Question

14．若f（x）+${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=x，则${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=．

Answer 1

分析 对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．

解答 解：对f（x）+∫₀¹f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，
由已知x+c+（$\frac{1}{2}$x²+cx）|${\;}_{0}^{1}$=x，解得c=-$\frac{1}{4}$，
所以${∫}_{0}^{1}f（x）dx={∫}_{0}^{1}（x-\frac{1}{4}）dx$=（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{4}x$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$；
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是利用求导求出f（x）．