Question

2．如图，在五面体ABCDEF中，△EAD为正三角形，四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，∠DAB=60°，AB=2AD=4．
（1）若G是FC的中点，求证：AF∥平面GBD；
（2）若二面角E-AD-B为45°，$AF=\sqrt{6}$，求直线AF与平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，连OG推出OG∥AF，利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面GBD．
（2）取AD，AB的中点依次为M，N，连接MN，EM，DN，说明EMN是二面角E-AD-B的平面角，∠EMN=45°，然后说明∠FAQ为直线AF与平面ABCD所成的角，通过解三角形求解即可．

解答 （1）证明：连接AC交BD于O，连OG，∵四边形ABCD为平行四边形∴O是AC中点
∵G是FC的中点∴OG是△CAF的中位线∴OG∥AF…（2分）
∵AF?平面GBD，OG?平面GBD…（4分）
∴AF∥平面GBD…（5分）
（2）解：取AD，AB的中点依次为M，N，连接MN，EM，DN

∵△EAD为正三角形∴EM⊥AD∵AD=2∴$EM=\sqrt{3}$，
∵∠DAB=60°，$AN=\frac{1}{2}AB=AD=2$，∴△NAD为正三角形∴NM⊥AD
∴∠EMN是二面角E-AD-B的平面角∴∠EMN=45°…（8分）
∵NM，EM是平面EMN内的两条相交直线∴AD⊥平面EMN…（9分）
∵AD?平面ABCD，∴平面EMN⊥平面ABCD…（10分）
作EP⊥MN，P为垂足，∵MN是平面EMN与平面ABCD的交线
∴EP⊥平面ABCD，∴在直角EMP中，$EP=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$是点E到平面ABCD的距离 …（11分）
作FQ⊥平面ABCD，Q为垂足，∴∠FAQ为直线AF与平面ABCD所成的角
∵EF∥AB，AB?平面ABCD，EF?平面ABCD
∴EF∥平面ABCD，∴$FQ=EP=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
∴$sin∠FAQ=\frac{FQ}{AF}=\frac{1}{2}$，∴∠FAQ=30°…（13分）

点评 本题考查直线余平米平行的判定定理的应用，二面角以及直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及空间想象能力．