Question

5．在△ABC中，角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，且$\sqrt{3}$asinB-bcosA=0，
（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用正弦定理得：$\sqrt{3}$sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合范围0＜A＜π，即可得解A的值．
（2）由余弦定理，平方和公式可得bc=$\frac{（b+c）^{2}-1}{\sqrt{3}+2}$，结合基本不等式可得b+c≤$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$（当且仅当b=c时取等号），即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）$\sqrt{3}$asinB-bcosA=0，即为$\sqrt{3}$asinB=bcosA，
代入正弦定理得：$\sqrt{3}$sinAsinB=sinBcosA，…（2分）
又0＜B＜π，sinB≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA，即tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（4分）
又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$．…（6分）
（2）由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，即cos$\frac{π}{6}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-1}{2bc}$，
化简得，$\sqrt{3}$bc+1=b²+c²，…（7分）
∵b²+c²=（b+c）²-2bc，
∴$\sqrt{3}$bc+1=（b+c）²-2bc，
∴bc=$\frac{（b+c）^{2}-1}{\sqrt{3}+2}$，…（8分）
∵bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，
∴$\frac{（b+c）^{2}-1}{\sqrt{3}+2}$≤$\frac{（b+c）^{2}}{4}$，当且仅当b=c时取等号成立，
解得（b+c）²≤4（2+$\sqrt{3}$）=8+4$\sqrt{3}$=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²，
∴b+c≤$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$（当且仅当b=c时取等号），…（11分）
∴a+b+c≤1+$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，（当且仅当b=c时取等号），
∴△ABC周长的最大值为1+$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，平方和公式，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．