Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆＋＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

(1) 若直线PA平分线段MN，求k的值；

(2) 当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；

(3) 对任意k>0，求证：PA⊥PB.

 

Answer 1

 (1) 解：由题设知，a＝2，b＝，故M(－2，0)，N(0，－)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点．又直线PA过坐标原点，所以k＝＝.

(2) 解：将直线PA的方程y＝2x代入椭圆方程＋＝1，解得x＝±，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为＝1，故直线AB的方程为x－y－＝0.因此，d＝

(3) 证明：设P(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则x₁>0，x₂>0，x₁≠x₂，A(－x₁，－y₁)，C(x₁，0)，设直线PA、PB、AB的斜率分别为k、k₁、k₂.因为C在直线AB上，所以k₂＝＝＝.从而k₁k＋1＝2k₁k₂＋1＝2·＋1＝＋1＝＝0.

因此k₁k＝－1，所以PA⊥PB.