Question

20．若函数y=x²的图象在点（2，4）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为$\frac{n}{2}$，则二项式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ的展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数为96．

Answer 1

分析 函数y=x²的图象在点（2，4）处的切线方程，可得它与坐标轴的交点，根据它与两坐标轴所围成的三角形面积为 $\frac{1}{2}$•1•4=$\frac{n}{2}$，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式求得展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数．

解答 解：函数y=x²的图象在点（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即y=4x-4，它与坐标轴的交点为（1，0）、（0，4），
故它与两坐标轴所围成的三角形面积为 $\frac{1}{2}$•1•4=$\frac{n}{2}$，∴n=4，
故二项式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ=（1-$\frac{4}{x}$）⁴的展开式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系数为 ${C}_{4}^{2}$•4²=96，
故答案为：96．

点评 本题主要考查求曲线在某一点的切线方程，二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．