Question

10．已知正项等比数列{a_n}满足：a₆+2a₅=15a₄，若存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a_m}{a_n}}=3{a_1}，则-m+\frac{12}{n}$的最小值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． $4\sqrt{3}-4$
• D． $4-2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₆+2a₅=15a₄，可得a₅q+2a₅=15$\frac{{a}_{5}}{q}$，解得q．由存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=3a₁，可得m+n=4．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₆+2a₅=15a₄，
∴a₅q+2a₅=15$\frac{{a}_{5}}{q}$，化为q²+2q-15=0，q＞0，解得q=3．
∵存在两项a_m，a_n使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=3a₁，∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=3a₁，化为：3^m+n-2=3²，可得m+n=4．
∴$-m+\frac{12}{n}$=n-4+$\frac{12}{n}$≥$2\sqrt{n•\frac{12}{n}}$-4=3，当且仅当n=3时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．