Question

19．若非零向量$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（\overrightarrow a+\overrightarrow b）=0，|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}|$，则$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由条件可得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为非零向量，并可得出$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$，然后对$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$两边平方，进行数量积的运算即可求出cos$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，进而便可得出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$为非零向量；
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=0$；
∴$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$；
∴由$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$得，${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow{a}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+{\overrightarrow{a}}^{2}=3{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，已知三角函数值求角．