Question

4．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征．2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．
（I）计算这40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；
（II）估计这40名广场舞者年龄的众数和中位数；
（III）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在[30，40）的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图能求出这40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．
（2）由直方图能求出这组数据的众数和中位数．
（3）由直方图可知，年龄在[20，30）有2人，分别记为a₁，a₂，在[30，40）有4人，分别记为b₁，b₂，b₃，b₄，利用列举法能求出从这6人中任选两人，这两名广场舞者中恰有一人年龄在[30，40）的概率．

解答 解：（1）由表中数据知，
这40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为（0.02+0.03+0.025）×10×40=30
（2）由直方图可知这组数据的众数为55
因为（0.005+0.01+0.02+0.015）×10=0.5，
故中位数为55．
（3）由直方图可知，年龄在[20，30）有2人，分别记为a₁，a₂，
在[30，40）有4人，分别记为b₁，b₂，b₃，b₄，
现从这6人中任选两人，共有如下15种选法：
（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₁，b₄），（a₂，b₁），
（a₂，b₂），（a₂，b₃），（a₂，b₄），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₁，b₄），
（b₂，b₃），（b₂，b₄），（b₃，b₄），
其中恰有1人在[30，40）有8种，
故这两名广场舞者中恰有一人年龄在[30，40）的概率为p=$\frac{8}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．