Question

13．如图，一个几何体的三视图如图所示（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为a的正方形，则其外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}π{a^3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$
• C． $\frac{1}{2}{a^3}$
• D． $\frac{1}{2}π{a^3}$

Answer 1

分析 三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的体积．

解答 解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S-ABCD，
其中SA⊥面ABCD．面ABCD为正方形，将此四棱锥还原为正方体，
易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=$\sqrt{3}$a．
∴V_球=$\frac{4}{3}$πr³=$\frac{\sqrt{3}}{2}π{a}^{3}$．
故选A．

点评 本题考查三视图求球的体积，几何体的外接球问题，是基础题．