Question

20．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点，PA=AB．
（Ⅰ） 证明：AE⊥PD；
（Ⅱ） 若F为PD上的点，EF⊥PD，求EF与平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明AE⊥AD，PA⊥AE，推出AE⊥平面PAD，然后证明AE⊥PD；
（2）连结AF，说明∠AFE为EF与平面PAD所成的角，利用tan∠AFE=$\frac{AE}{AF}$，求解即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°，
∴△ABC为正三角形，又E为BC中点，
∴AE⊥BC；又AD∥BC，
∴AE⊥AD，…（3分）
∵PA⊥平面ABCD，又AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
∴AE⊥PD；…（6分）
（2）连结AF，由（1）知AE⊥平面PAD，
∴∠AFE为EF与平面PAD所成的角，且AF⊥PD…（8分）
依题意，AF=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{3}$，
∴tan∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴EF与平面PAD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．