Question

5．已知函数y=f（x），若在定义域内存在x₀，使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则称x₀为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a∈R，a≠0，证明：函数f（x）=ax²+x-a必有局部对称点；
（2）若函数f（x）=2^x+b在区间[-1，1]内有局部对称点，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令f（-x）=-f（x）得出关于x的方程，根据判别式证明方程有解即可；
（2）令f（-x）=-f（x）得出关于x的方程，令t=2^x得出b关于t的函数g（t），求出函数g（t）在[$\frac{1}{2}$，2]上的值域即可；
（3）令f（-x）=-f（x）得出关于x的方程，令2^x+2^-x=t得出关于t的一元二次方程在[2，+∞）上有解，根据二次函数的性质不等式方程组求出m的范围．

解答 解：（1）证明：∵f（x）=ax²+x-a，∴f（-x）=ax²-x-a，
令f（-x）=-f（x）得ax²-x-a=-ax²-x+a，化简得ax²-a=0（a≠0），
∵△=4a²＞0恒成立，
∴方程f（-x）=-f（x）必定有解，即函数f（x）=ax²+x-a必有局部对称点．
（2）f（x）=2^x+b，f（-x）=2^-x+b，
令f（-x）=-f（x）得2^x+2^-x=-2b，即b=-$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），
令2^x=t，g（t）=-$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$），∵x∈[-1，1]，∴$t∈[{\frac{1}{2}，2}]$，
∴g′（t）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2{t}^{2}}$，令g′（t）=0得t=1或t=-1（舍）．
当$\frac{1}{2}$≤t＜1时，g′（t）＞0，当1＜t≤2时，g′（t）＜0，
∴g（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，在（1，2]单调递减，
∵g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$，g（1）=-1，g（2）=-$\frac{5}{4}$，
∴g（t）的最大值为-1，g（t）的最小值为-$\frac{5}{4}$．
∴b的取值范围是$[{-\frac{5}{4}，-1}]$．
（3）f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3，f（-x）=4^-x-m•2^-x+1+m²-3，
令f（-x）=-f（x）得4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0（*），
∵f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3在R上有局部对称点，
∴4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2（m²-3）=0在R上有解．
令2^x+2^-x=t，则t∈[2，+∞），4^x+4^-x=t²-2，
∴关于t的方程t²-2mt+2m²-8=0在t∈[2，+∞）上有解，
令h（t）=t²-2mt+2m²-8，则h（2）=2m²-4m-4≤0或$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-8）≥0}\\{m≥2}\\{h（2）=2{m}^{2}-4m-4＞0}\end{array}\right.$．
解得：$1-\sqrt{3}≤m≤1+\sqrt{3}$或$1+\sqrt{3}＜m≤2\sqrt{2}$，即1-$\sqrt{3}$≤m≤2$\sqrt{2}$．
∴m的取值范围是[1-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了对新定义的理解，函数最值的计算，二次函数的性质，属于中档题．