Question

13．如图，在△ABC中，AC=10，$AB=2\sqrt{19}$，BC=6，D是边BC延长线上的一点，∠ADB=30°，求AD的长．

Answer 1

分析 利用余弦定理，求出∠ACB=60°，∠ACD=120°，在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，利用正弦定理可得结论．

解答 解：在△ABC中，AB=10，AC=14，BC=6，
由余弦定理得$cos∠ACB=\frac{{A{C^2}+B{C^2}-A{B^2}}}{2AC•BC}=\frac{100+36-76}{2×10×6}=\frac{1}{2}$，
所以∠ACB=60°，∠ACD=120°，
在△ACD中，AC=10，∠ADB=30°，∠ACD=120°，…8分
由正弦定理得，$\frac{AC}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠ACB}$
所以$AD=\frac{AC•sin∠ACB}{sin∠ADB}=\frac{{10•sin{{120}°}}}{{sin{{30}°}}}=10\sqrt{3}$…12分．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．