Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n＞0，且满足：（a_n+2）²=4S_n+4n+1，n∈N^*．
（1）求a₁及通项公式a_n；
（2）若b_n=（-1）ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）对n分类讨论，利用分组求和即可得出．

解答 解：（1）∵（a_n+2）²=4S_n+4n+1，n∈N^*，∴$（{a}_{1}+2）^{2}$=4a₁+5，a₁＞0，解得a₁=1．
n≥2时，$（{a}_{n-1}+2）^{2}$=4S_n-1+4（n-1）+1，相减可得：${a}_{n}^{2}-$$（{a}_{n-1}+2）^{2}$=0，a_n＞0，化为：a_n-a_n-1=2．
∴数列{a_n}是等差数列，公差为2，首项为1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=（-1）ⁿ•a_n=（-1）ⁿ•（2n-1）．
n=2k（k∈N^*）时，b_2k-1+b_2k=-（2n-1）+（2n+1）=2．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=n．
n=2k-1（k∈N^*）时，b_2k+b_2k+1=（2n-1）-（2n+1）=-2．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=-1-$\frac{n-1}{2}×2$=-n．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k}\\{-n，n=2k-1}\end{array}\right.$，k∈N^*．

点评 本题考查了分组求和、等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．