Question

13．函数f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域，并证明g（x）=f（x）-log_a（3+ax）的奇偶性；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，函数f（x）=log_a（3-3x），对数的真数大于0，可得定义域．利用定义判断奇偶性．
（2）利用复合函数单调性，判断a的范围，根据在[2，3]递增，最大值为1，建立关系求解a即可．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=log_a（3-ax）（a＞0，a≠1）
当a=3时，可得f（x）=log_a（3-3x）
定义域满足：3-3x＞0
解得：x＜1，
所以函数f（x）的定义域为（-∞，1）
易知g（x）=log₃（3-3x）-log₃（3+3x），
∵3-3x＞0，且3+3x＞0，
∴-3＜x＜3，
定义域关于原点对称，
又∵g（x）=log₃（3-3x）-log_a（3+3x）
∴g（-x）=log₃（3+3x）-log_a（3-3x）=-g（x）
∴g（x）为奇函数．
（3）令u=3-ax，（a＞0，a≠1），
∵f（x）=log_au（u＞0）在[2，3]递增，存在最大值1，
∴u=3-ax在[2，3]上单调递减，
又∵函数f（x）在[2，3]递增，
∴0＜a＜1．
又∵函数f（x）在[2，3]的最大值为1，
∴f（3）=1．
即f（3）=log₃（3-3a）=1，
解得：a=$\frac{3}{4}$
故得存在实数a=$\frac{3}{4}$使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，转化的思想，属于中档题．