Question

4．在平面直角坐标系中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），$x∈（0，\frac{π}{2}）$．
（1）若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，求tanx的值；   
（2）若$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐标结合向量垂直列式求得tanx的值；
（2）直接利用数量积求夹角公式可得$\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx=1$，再由辅助角公式化积可得cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．求得x+$\frac{π}{4}$的值，则x的值可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，sinx），
∴由$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx=0$，
得sinx=cosx，∵$x∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴cosx≠0，则tanx=1；
（2）∵$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，
∴cos$\frac{π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sinx}{1×1}=\frac{1}{2}$，
则$\sqrt{2}cosx-\sqrt{2}sinx=1$，
∴cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
∴x+$\frac{π}{4}=\frac{π}{3}$，则x=$\frac{π}{12}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了由数量积求夹角公式，属中档题．