Question

14．函数y=f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，若g（x）是f（x）的反函数（注：互为反函数的函数图象关于直线y=x对称），则g（8）=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 16
• D． $\frac{1}{256}$

Answer 1

分析 运用赋值法，可得f（2）=4，f（3）=8，再由互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，点（m，n）的对称点为（n．m），即可得到所求g（8）．

解答 解：函数y=f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=2，
可得f（2）=f（1）•f（1）=4，
令x=1，y=2，可得f（3）=f（1）•f（2）=2×4=8，
由g（x）是f（x）的反函数，
可得互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，
（3，8）关于直线y=x对称的点为（8，3），
则g（8）=3．
故选：A．

点评 本题考查抽象函数及应用：求函数值，注意运用赋值法，考查互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，点（m，n）的对称点为（n．m），考查化简运算能力，属于中档题．