Question

19．若$α∈（0，π），β∈（0，π），\frac{sin2α}{1+cos2α}=\frac{4}{3}，cos（α+β）=\frac{5}{13}$，则sinβ=$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 利用构造思想，sin[（α+β）-α]=sinβ，由cos（α+β）=$\frac{5}{13}$，求出sin（α+β）的值即可求．

解答 解：由a∈（0，π），
$\frac{sin2α}{1+cos2α}=\frac{2sinαcosα}{2co{s}^{2}α}=\frac{sinα}{cosα}=\frac{4}{3}$＞0，
∴$α∈（0，\frac{π}{2}）$
∵sin²α+cos²α=1
解得：sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$
由cos（a+β）=$\frac{5}{13}$＞0，
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，β∈（0，π）
∴（α+β）∈（0，$\frac{π}{2}$）
∴sin（a+β）=$\frac{12}{13}$
那么：sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}×\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$
故答案为$\frac{16}{65}$．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式，两角和与差的构造思想．和计算能力．属于中档题．