Question

17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a，b，c，且A、B、C成等差数列
（1）若$b=\sqrt{7}，c=2$，求△ABC的面积
（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）A、B、C成等差数列，求出B，利用余弦定理求出a，即可求△ABC的面积；
（2）若sinA、sinB、sinC成等比数列，b²=ac，再用余弦定理，求出a=c，即可试判断△ABC的形状．

解答 解：（1）∵A、B、C成等差数列，
∴B=60°，
由余弦定理，可得7=4+a²-2a，∴a=3，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$；
（2）∵sinA、sinB、sinC成等比数列
∵sin²B=sinAsinC，
∴b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形

点评 本题考查三角形面积的计算，考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．