Question

5．函数f（x）=ax+xlnx在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若y=f（x）-m-1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，结合函数的图象求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=a+lnx+1，…（1分）
∵f'（1）=a+1=0，解得a=-1，当a=-1时，f（x）=-x+xlnx，…（2分）
即f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；…（3分）
令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；…（4分）
∴f（x）在x=1处取得极小值，f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）…（6分）
（Ⅱ）y=f（x）-m-1在（0，+∞）内有两个不同的零点，
可转化为f（x）=m+1在（0，+∞）内有两个不同的根，
也可转化为y=f（x）与y=m+1图象上有两个不同的交点，…（7分）
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
f（x）_min=f（1）=-1，…（8分）
由题意得，m+1＞-1即m＞-2①…（10分）
当0＜x＜1时，f（x）=x（-1+lnx）＜0；
当x＞0且x→0时，f（x）→0；
当x→+∞时，显然f（x）→+∞（或者举例：当x=e²，f（e²）=e²＞0）；
由图象可知，m+1＜0，即m＜-1②…（11分）
由①②可得-2＜m＜-1…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．