Question

8．已知y=$\frac{1}{3}{x^3}+b{x^2}$+（b+2）x+3是R上的单调函数，则b的取值范围是（　　）

• A． -1≤b≤2
• B． b≤-1或b≥2
• C． -1＜b＜2
• D． b＜-1或b＞2

Answer 1

分析 三次函数y=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（b+2）x+3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．

解答 解：若函数y=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（b+2）x+3是R上的单调函数，
则只需y′=x²+2bx+b+2≥0在R上恒成立
或y′=x²+2bx+b+2≤0在R恒成立即可；
而导函数对应的二次函数的图象开口向上，
故y′=x²+2bx+b+2≤0在R不恒成立，
∴x²+2bx+b+2≥0恒成立，
∴△≤0，即b²-b-2≤0，
则b的取值是-1≤b≤2．
故选：A．

点评 本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题，属于基础题．