Question

17．若命题：“存在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2＜0成立”为假命题，则实数a的取值范围为（-∞，-1]．

Answer 1

分析 令t=tanx，$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，求得t的范围，由题意可得对任意$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2≥0成立，即有t²-at-2≥0，1≤t≤$\sqrt{3}$，即为a≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$=t-$\frac{2}{t}$，判断右边函数的单调性，求得最小值即可得到所求a的范围．

解答 解：令t=tanx，$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，
可得1≤t≤$\sqrt{3}$，
命题：“存在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2＜0成立”为假命题，
则对任意$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2≥0成立，
即有t²-at-2≥0，1≤t≤$\sqrt{3}$，
即为a≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$=t-$\frac{2}{t}$，
由f（t）=t-$\frac{2}{t}$，f′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
可得f（t）在[1，$\sqrt{3}$]递增，
即有f（1）取得最小值-1，
则a≤-1．
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题考查命题的真假判断和应用，注意运用命题的否定，转化为恒成立问题，考查换元法和参数分离，注意运用单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．