Question

1．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$（t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（Ⅰ） 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（II）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用三种方程的互化方法，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（II）将直线l的参数方程代入x²=4y，得t²sinφ-4tcosφ-4=0，利用韦达定理，即可求|AB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ） 由$\left\{\begin{array}{l}{x=tsinφ}\\{y=1+tcosφ}\end{array}\right.$消去t得直线l的普通方程为xcosφ-ysinφ+sinφ=0．…（2分）
由曲线ρcos²θ=4sinθ 即 ρ²cos²θ=4ρsinθ，它的直角坐标方程为 x²=4y．…（5分）
（II） 将直线l的参数方程代入x²=4y，得t²sinφ-4tcosφ-4=0，…（6分）
设A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=$\frac{4cosφ}{si{n}^{2}φ}$，t₁t₂=-$\frac{4}{si{n}^{2}φ}$，…（7分）
所以|AB|=|t₁-t₂|=$\frac{4}{si{n}^{2}φ}$．…（9分）
当φ=$\frac{π}{2}$时，|AB|的最小值为4．…（10分）

点评 本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．