Question

16．已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设$g（x）=\frac{f（x）}{x+1}$，且a＞1，讨论函数g（x）的单调性和极值点．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=3时，$f（x）=（x+1）lnx-3（x-1），f'（x）=lnx+\frac{1}{x}-2$，
f'（1）=-1，f（1）=0．
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y-1=0．
（2）$g（x）=lnx-a\frac{x-1}{x+1}$，x＞0，a＞1，
$g'（x）=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（{x^2}+1）}^2}}}$，
令F（x）=x²+2（1-a）x+1，其对称轴为x=a-1＞0，△=4a（a-2）
①当△≤0，即1＜a≤2，F（x）≥0，g'（x）≥0，
g（x）在（0，+∞）单调递增，无极值．
②当△＞0，即a＞2，
令g'（x）＞0，则$0＜x＜a-1-\sqrt{a（a-2）}或x＞a-1+\sqrt{a（a-2）}$，
令g'（x）＜0，则$a-1-\sqrt{a（a-2）}＜x＜a-1+\sqrt{a（a-2）}$
所以，增区间为$（{0，a-1-\sqrt{a（a-2）}}）和（{a-1+\sqrt{a（a-2）}，+∞}）$
减区间为$（{a-1-\sqrt{a（a-2）}，a-1+\sqrt{a（a-2）}}）$
所以，极大值点是$a-1-\sqrt{a（a-2）}$，极小值点是$a-1+\sqrt{a（a-2）}$
综上：当1＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）单调递增，无极值．
当a＞2时，f（x）在$（{0，a-1-\sqrt{a（a-2）}}）和（{a-1+\sqrt{a（a-2）}，+∞}）$上单调递增，
在$（{a-1-\sqrt{a（a-2）}，a-1+\sqrt{a（a-2）}}）$上单调递减；
极大值点是$a-1-\sqrt{a（a-2）}$，极小值点是$a-1+\sqrt{a（a-2）}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．