Question

已知F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是等腰直角三角形，则该双曲线的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的对称性及等腰直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值．

解答： 解：∵△ABE是等腰直角三角形，∴∠AEB为直角，
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF=45°
∴|AF|=|EF|
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0），
∴令x=-c，则

c2

a2

-

y2

b2

=1，解得y=±

b2

a

，
即有|AF|=

b2

a

，
∴|EF|=a+c，
∴

b2

a

=a+c，又b²=c²-a²，
∴c²-ac-2a²=0，
∴e²-e-2=0
∵e＞1，∴e=2．
故答案为：2．

点评：本题考查双曲线的对称性、双曲线的三参数关系：c²=a²+b²，考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．