Question

10．已知圆C与直线x+y=0和x+y-4=0都相切，且圆心在直线x+2y=0上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx-2与圆C相交于A，B两点，若|AB|≥2，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心（a，b），由已知列出方程组求出圆心坐标，从而求出半径，由此能求出圆C的方程．
（Ⅱ）由圆C的圆心C（4，-2），半径r=$\sqrt{2}$，求出圆心C（4，-2）到直线y=kx-2的距离，由此结合已知条件能求出k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）圆C与直线x+y=0和x+y-4=0都相切，且圆心在直线x+2y=0上，
设圆心（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|a+b|}{\sqrt{2}}=\frac{|a+b-4|}{\sqrt{2}}}\\{a+2b=0}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=-2，
∴圆心C（4，-2），半径r=$\frac{|4-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴圆C的方程为（x-4）²+（y+2）²=2．
（Ⅱ）∵圆C的圆心C（4，-2），半径r=$\sqrt{2}$，
圆心C（4，-2）到直线y=kx-2的距离d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
直线y=kx-2与圆C相交于A，B两点，|AB|≥2，
∴（$\frac{|AB|}{2}$）²=$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$≥1，
∴2-$\frac{16{k}^{2}}{{k}^{2}+1}$≥1，解得-$\frac{\sqrt{15}}{15}$≤k≤$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴k的取值范围是[$-\frac{\sqrt{15}}{15}$，$\frac{\sqrt{15}}{15}$]．

点评 本题考查圆的方程和实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质和点到直线的距离公式的合理运用．