Question

1．如图所示：已知直线l₁：y=kx+1与圆C：x²+y²=4相交于P、Q两点．
（1）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-$\frac{5}{2}$，求实数k的值；
（2）过点（0，1）作直线l₂与l₁垂直，且直线l₂与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-$\frac{5}{2}$，即可求得k的值．
（2）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，求得${{d}_{1}}^{2}+{d}^{2}=1$，根据垂径定理和勾股定理得到|PQ|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，|MN|=2$•\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值．

解答 解：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，代入消元得（1+k²）x²+2kx-3=0．
由题意得：△=4k²-4（1+k²）（-3）＞0，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=-$\frac{5}{2}$，∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-$\frac{5}{2}$，
又y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{-3}{1+{k}^{2}}+\frac{-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+\frac{-2{k}^{2}}{1+{k}^{2}}+1=-\frac{5}{2}$，
化简得：3k²=1，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，根据勾股定理，有${{d}_{1}}^{2}+{d}^{2}=1$，
又根据垂径定理和勾股定理得到，|PQ|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$，|MN|=2$•\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}$，
而S=$\frac{1}{2}•$|PQ|•|MN|，
即S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{4-{{d}_{1}}^{2}}×2×\sqrt{4-{d}^{2}}$
=2$\sqrt{16-4（{{d}_{1}}^{2}+{d}^{2}）+{{d}_{1}}^{2}•{d}^{2}}$
=2$\sqrt{12-{{d}_{1}}^{2}•{d}^{2}}$
≤2$\sqrt{12+（\frac{{{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}}{2}）^{2}}$
=2$\sqrt{12+\frac{1}{4}}$=7．
当且仅当d₁=d时，等号成立，所以S的最大值为7．

点评 本题考查圆的标准方程，考查向量的数量积，考查圆的性质，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，解题的关键是正确表示四边形的面积，属于中档题